1. Вы пишите: отцовство установлено. Вопрос; установлено в судебном порядке?
Если отцовство установлено в судебном порядке, то взыскание алиментов за прошедший период возможно только с момента вступления в законную силу решения суда об установлении отцовства (предельный срок 3 года).
2. Взыскания алиментов за прошедшее время возможно, если до обращения в суд принимались меры к получению средств на содержание ребенка, но алименты не были получены вследствие уклонения лица, обязанного уплачивать алименты.
Обязанность доказать, что отец уклонялся от уплаты алиментов лежит полностью на Вас. Сделать это конечно трудно, но попытаться можно, Вы ведь ничего не теряете.
Вы пишите: Соглашение об уплате он заключать не хочет. Надо полагать, что Вы обращались к отцу вашего ребенка с таким предложением. Кроме заказных писем, подтвердить этот факт могут свидетели, если они присутствовали при вашем разговоре или слышали телефонный разговор + можно взять распечатку тел разговоров, если возникают трудности с распечаткой, то обращаемся в суд с ходатайством об истребовании у оператора тел. связи распечатки. Заказные письма это, конечно, хорошо, но ведь согласно ГПК доказательствами являются и показания свидетелей.
В любом случае оценку доказательствам дает суд.
Требование о взыскании алиментов за прошедшее время, можно включить в исковое заявление о взыскании алиментов.